今天的問題是:井蓋為什么是圓形的?

2018-08-15

翻一翻數學問題集,選一兩個問題研究研究,已經成為我每天必不可少的功課。

 

今天的問題是:井蓋為什么是圓形的?

 

答案毫無疑問,是為了防止井蓋掉落到井里!

 

我們日常生活中隨處可見的一些物體,它們之所以采用了現在的形狀,并不是偶然的。就如同井蓋必須是圓的。

 

我認為,這是因為“在任何角度上寬度(直徑)都為定值的圖形只有圓形”。今天的這個問題對我來說真是小菜一碟。

 

 

 
 

井蓋只有是圓形才不會掉下去?

 

“井蓋為何是圓形的”這個問題,有些讀者可能之前就有所耳聞。這道題曾經出現在微軟公司的招聘筆試題目中,一度成為人們熱議的話題。

 

在回答這個問題時,如果暫時拋開圓形井蓋“易于滾動運輸”“方便加工”等物理因素,那么答案就是開篇日記中提到的——圓形井蓋不容易掉到井里。

 

真的是這樣嗎?其他形狀的井蓋就可能掉下去嗎?

 

我們先來用正方形試一下。如圖69 所示,很遺憾,正方形的井蓋會掉下去。

 

 

對于這樣的事情,大多數人可能都會不假思索地點頭認同,但鮮有人去質疑、深究。不過,現在希望大家能認真思考一下這個問題:“井蓋可以制作成圓形以外的形狀嗎?”

 

如何,有新的發現嗎?估計會很難吧。因為人一旦將“井蓋只要是圓形的就可以”的觀念植入腦海,就很難將其根除,思維也很難擺脫其影響。

 

下面,就讓我們一步一步分析,找出真相。

 

首先,還是以正方形為例,先思考為什么正方形的井蓋會輕易掉下去。

 

理由很簡單,正方形井蓋的話,井口也是正方形,如果把正方形井蓋斜過來,就會導致井蓋的邊長小于井口正方形的對角線。

 

這就是幾何中正方形的性質:“正方形的對角線的長度,大于其邊長。”正方形對角線的長度,大約是其邊長的 √2=1.414 213 56…倍。

 

那么,如果把井蓋做成長方形呢?

 

 

如圖70 所示,即使換成長方形,結果也是一樣的。長方形對角線的長度,仍然大于其任意邊長。不管換成什么形狀的長方形,都是這種情況。

 

下面,我們來試試等邊三角形的情況(圖71)。

 

 

等邊三角形中,長度最長的就是邊長,所以情況和四邊形不同。但是,以正三角形的任意頂點向對邊作垂線(三角形的高),垂線的長度都小于正三角形的邊長。這就意味著三角形的井蓋也會掉下去。

 

我們考察了四邊形和三角形的情況,不過還是不能完全解答井蓋形狀的問題,但是我們已經在逐漸接近真相了。下面,我們來考察正五邊形的情況。

 

如圖72 所示,通過計算可知,正五邊形的對角線等于其邊長的(1+√5)/2=1.618033 …倍,高等于其邊長的1.538 841…倍。

 

 

正五邊形的情況雖然比正三角略微復雜,但正五邊形的高同樣小于其對角線,也就意味著正五邊形的井蓋同樣會掉到井里去。用同樣的思路考察正七邊形、正九邊形……會發現這些圖形的高都小于對角線。

 

 

 
 

勒洛多邊形

 

如果井蓋使用正奇數邊形的話,應該如何改進呢?現在問題的關鍵就在于,圖形的高小于對角線,會導致井蓋在某個角度掉下去。

 

我們先來看一下正三角形的情況。將圓規的針尖放置在正三角形的一個頂點上,畫出連接另外兩個頂點的扇形。

 

這樣所得到的圖形的高就等于其對角線(正三角形的情況下,對角線其實就相當于其邊長),都等于這個扇形的半徑。

 

依次對三個頂點進行上述作圖,就可以得到圖73 這種“胖乎乎”的三角形,這種三角形被稱為“勒洛三角形”。

 

這種三角形雖然不是圓,但卻具有圓的某種性質,即無論在任何角度上,圖形的寬度都是相等的(圖74)。

 

這種性質在數學中叫作“等寬性”或“定寬性”。既然圖形的寬度恒定,那么就可以用來制作井蓋了。

 

 

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